ملاحظة حول القابلية المتغيرة وعتبة مناعة القطيع ونمذجة الأمراض المعدية

خلاصة

لقد كان من الصعب جدًا التنبؤ بانتشار جائحة فيروس كورونا-19 باستخدام النماذج الرياضية للأمراض المعدية. في حين أنه ثبت أن الاختلافات في القابلية للتأثر لها تأثير مثبط على الكميات الرئيسية مثل ذروة الإصابة، وعتبة مناعة القطيع، والحجم النهائي للوباء، فإن هذه الظاهرة المعقدة يكاد يكون من المستحيل قياسها أو قياسها، ولا تزال غير واضحة كيفية دمجها للنمذجة والتنبؤ. في هذا العمل، نبين أنه، من منظور النمذجة، فإن التباين في القابلية للتأثر على المستوى الفردي يعادل جزء θ من السكان الذين لديهم مناعة تعقيمية "اصطناعية". كما اشتقنا صيغًا جديدة لعتبة مناعة القطيع والحجم النهائي للوباء، وأظهرنا أن هذه القيم أقل بكثير مما تنبأت به الصيغ الكلاسيكية، في ظل وجود قابلية متغيرة. في حالة فيروس SARS-CoV-2 على وجه الخصوص، هناك الآن بلا شك قابلية متغيرة بسبب تراجع المناعة من كل من اللقاحات والإصابات السابقة، ويمكن استخدام النتائج التي توصلنا إليها لتبسيط النماذج إلى حد كبير. إذا كانت مثل هذه الاختلافات موجودة أيضًا قبل الموجة الأولى، كما يشير عدد من الدراسات، فإن هذه النتائج يمكن أن تساعد في تفسير سبب كون حجم الموجات الأولية لـ SARS-CoV-2 منخفضًا نسبيًا، مقارنة بما يمكن للمرء أن يتخيله. توقعت بناء على النماذج القياسية.

cistanche tubulosa-تحسين الجهاز المناعي

1 المقدمة

نظرًا لأن الأعمال الأساسية لكيرماك وماكيندريك [1–3] تُستخدم النماذج الرياضية المجزأة (مثل SIR وSEIR وما إلى ذلك) لنمذجة انتشار الأمراض المعدية. ومن بين أمور أخرى، قدمت هذه الأوراق البحثية قيمة R0- المشهورة حاليًا وأظهرت أنه على النقيض من الحدس البشري، فإن الأمراض المعدية لن تصيب أبدًا جميع السكان، بغض النظر عن مدى انتشارها. وبدلاً من ذلك، سيبدأ معدل الإصابة في الانخفاض عندما يصل جزء من المتعافين إلى ما يسمى "عتبة مناعة القطيع"، والتي استنتجوا من أجلها الصيغة الشهيرة. ومع ذلك، قبل جائحة السارس-CoV-2، لم يكن هناك بيانات موثوقة من فيروس جديد (يؤثر على البشر) يمكن اختبار هذا التنبؤ عليها. ولسوء الحظ، لا يزال هذا هو الحال إلى حد كبير، حيث كان لعمليات الإغلاق والعزل الطوعي (التي لا يمكن للنماذج التنبؤ بها) تأثير كبير على الانتشار. على الرغم من ذلك، تشير البيانات الواردة من أماكن مثل السويد، التي لم تفعل سوى القليل نسبيًا لوقف انتقال العدوى المجتمعية، إلى أن النماذج الرياضية تميل إلى المبالغة في تقدير حجم الموجة أثناء تفشي المرض على نطاق واسع [4]. من المعروف أن هناك عدة عوامل لها تأثير تخميد على منحنيات النموذج. أحد الأمثلة على ذلك هو الحساسية المتغيرة، انظر على سبيل المثال الفصل. 1 و 3 في [5]، والمواد [6-9]. من خلال القابلية المتغيرة، نشير هنا إلى الاختلافات (الثابتة مع الزمن) بين الأفراد في احتمالية الإصابة بالعدوى، في ضوء تعرض معين للفيروس، على عكس الاختلافات الفردية مع مرور الوقت. كما تم تحديد نتائج مماثلة عدديًا لتباينات أخرى، مثل العمر والنشاط [10]. ومن الغريب أن العدوى المتغيرة (الناشرات الفائقة) ليس لها أي تأثير مثبط على الانتشار أثناء تفشي المرض على نطاق واسع [11]. على أية حال، يتم استخلاص مثل هذه الاستنتاجات باستخدام حجج إرشادية أو ببساطة عن طريق اختبار النماذج ذات الصلة، ولا تزال الآليات الكامنة وراء هذه الظواهر غير مفهومة بشكل جيد. على وجه الخصوص، نظرًا لأنه من المستحيل فعليًا قياس التباين في القابلية للتأثر كميًا، فمن غير الواضح كيفية دمجه بكفاءة في النماذج، وبالتالي لا تزال التنبؤات بموجات فيروس كورونا-19 المستقبلية، أو الوباء التالي، تمثل تحديًا كبيرًا.

cistanche tubulosa-تحسين الجهاز المناعي

بشكل ملموس، لنفترض أن مرضًا معديًا جديدًا، تنطوي ديناميكيات انتقاله على تباين كبير في العدوى و/أو القابلية للتأثر، قد تم إدخاله في شبكة متصلة جيدًا مثل مدينة كبيرة، ونفترض أن تفشيًا كبيرًا على وشك الحدوث. يمكن للمرء بعد ذلك تقدير R0، أي تقدير تقريبي لمتوسط ​​عدد الإصابات الجديدة التي تسببها عدوى واحدة، من سلسلة بيانات الحالات المبكرة، باستخدام EpiEstim [12] أو [13]. من خلال دراسة تتبع جهات الاتصال، يمكن للمرء أيضًا تقدير وقت الجيل، وهو المعلمة الأخرى اللازمة لتشغيل نموذج SIR. في مثل هذا السيناريو، يمكن للمرء أن يطرح السؤال عما إذا كان ناتج محاكاة SIR البسيطة هو تقريب جيد من الدرجة الأولى لما هو على وشك الحدوث، في غياب التدخلات غير الصيدلانية. هل الصيغة (1) مؤشر جيد للوقت الذي نتوقع فيه أن يبدأ تفشي المرض في الانحسار؟ استنادًا إلى البيانات الواردة من السويد أثناء جائحة فيروس كورونا-19، يبدو أن الإجابة هي لا، راجع [4] حيث يظهر أن معدل الإصابة انخفض، بشكل غير متوقع، عند مستويات انتشار مصلي أقل بكثير مما كان متوقعًا بواسطة (1). من بين الدراسات النظرية السابقة حول هذا الموضوع، فإن المقالة الأقرب للإجابة على الأسئلة المذكورة أعلاه هي Britton et. آل. [10]، حيث أثبت المؤلفون أن الاختلافات في أنماط النشاط يمكن أن تخفض بشكل كبير عتبة مناعة القطيع، مقارنة بالتقدير الكلاسيكي المبني على (1). منشور أقدم برسالة مماثلة هو [14]. ومع ذلك، فإن هذه الاستنتاجات هي ملاحظات تجريبية تعتمد على النماذج التي تم بناؤها لدمج عدم التجانس السكاني. لم يتم إثبات تأثير التخميد هذا رياضيًا، ويظل من غير الواضح كيف وإلى أي مدى تظهر التغايرات المختلفة. وعلى وجه الخصوص، لا يزال من غير الواضح كيفية التنبؤ بشكل أكثر دقة بعتبة مناعة القطيع. نلاحظ أنه في حالة فيروس SARS-CoV-2، فقد ثبت أن عددًا من العوامل مثل المناعة الجينية والمناعة التفاعلية والمناعة الفطرية توفر تباينًا في القابلية للإصابة [15-18].

cistanche tubulosa-تحسين الجهاز المناعي

انقر هنا لعرض منتجات Cistanche Enhance Immunity

【اطلب المزيد】 البريد الإلكتروني: cindy.xue@wecistanche.com / تطبيق Whats: 0086 18599088692 / Wechat: 18599088692

1.1 مساهمات الرواية

في هذا العمل، نثبت رياضيًا أن الاختلافات في القابلية للتأثر لها تأثير مثبط على منحنيات النموذج، في حين أن الاختلافات في العدوى لا تفعل ذلك (طالما أنها غير مرتبطة بالأولى، انظر [7]). والأهم من ذلك أننا نجد أيضًا أن التوزيع (غير المعروف عادةً) الذي يصف كيفية اختلاف القابلية للتأثر ليس ضروريًا لوضع نماذج دقيقة. وبشكل أكثر دقة، نظهر أن نموذج الحساسية غير المتجانس سوف يتصرف بشكل مماثل تقريبًا لنموذج SIR القياسي (المتجانس) حيث يتمتع جزء من السكان بمناعة معقمة وأن الشكل الدقيق لتوزيع الحساسية يؤثر فقط على مستوى المناعة المعقمة. ومن المهم التأكيد على أن هذه المناعة لا توجد إلا ضمن تبسيط النموذج الرياضي، ولا ينبغي الخلط بينها وبين المناعة العقيمة الحقيقية لبعض الأفراد. بمعنى آخر، حتى لو كان الجميع عرضة للإصابة بالفيروس (إلى حد ما)، فسيبدو على مستوى السكان كما لو أن جزءًا من السكان لديه مناعة معقمة. سوف نشير إلى مثل هذه المناعة، اللازمة لوضع نماذج رياضية دقيقة، باسم "مناعة التعقيم الاصطناعي" (ASI)، ونسبة السكان الذين يمتلكونها بالرمز θ. وطالما أنه من الممكن تقدير θ من البيانات المتاحة، فإننا نظهر أن عتبة المناعة الفعلية أقل بالفعل مما توقعه (1). يتم إعطاء الصيغة الصحيحة، في حالة وجود حساسية متغيرة، بواسطة

كما يتقلص الحجم النهائي للوباء بنفس العامل (1 - θ). يجب علينا أيضًا أن نبين عدديًا أن عدم التجانس السكاني الآخر، مثل تلك التي نظر فيها بريتون وآخرون. آل. [10]، لها تأثير مماثل، وبالتالي يمكن استخدام النتائج الواردة في هذه الورقة لتقليل عدد الأشياء المجهولة بشكل كبير في نموذج غير متجانس أكثر واقعية لانتشار المرض.

2 رياضيات ديناميات انتشار الأمراض المعدية

من أجل شرح النتائج الرياضية، نقدم أولا لمحة عامة عن كيفية عمل النموذج الأساسي. يشير SIR إلى الحالات المعرضة للإصابة والمعدية والمتعافية، وهو أبسط شكل من أشكال "النموذج المجزأ" المستخدم في علم الأوبئة الرياضي (انظر على سبيل المثال [19] للحصول على مقدمة لهذا المجال). في النموذج، S وI وR هي دالات للوقت t، ولتوضيح كيفية ارتباطها، سنقدم أيضًا الوظيفة (الزائدة عن الحاجة) ν التي تصف معدل الإصابة، أي كمية المصابين الجدد كل يوم (يجب عدم الخلط بينه مع I، الذي يصف مدى الانتشار). توجد صيغة ν(t) في قلب الخوارزمية، وفي البداية، لدينا ببساطة ν(t)=I(t)، حيث يوجد ثابت يحدد عدد الحالات الجديدة المعدية في المتوسط يؤدي إلى خلال يوم واحد. إذا كان a هو متوسط ​​عدد الاتصالات اليومية التي يحتمل أن تكون معدية من قبل شخص عادي، وp هو احتمال أن يؤدي هذا الاتصال بالفعل إلى انتقال العدوى، إذن=ap. ومع انخفاض عدد الأشخاص المعرضين للإصابة بالمرض تدريجيًا، يتعين علينا تعديل ذلك عن طريق ضرب الجزء السكاني الذي لا يزال عرضة للإصابة. إذا كان إجمالي عدد السكان هو N، فهذا الكسر هو S(t)/N وتصبح الصيغة

لإعداد المعادلات المتبقية، نحتاج أيضًا إلى وقت الجيل T Generation، أي متوسط ​​الوقت المستغرق من الإصابة إلى التعافي. ثم المعادلات المتبقية

حيث σ {{0}}/Tجيل و0 يشير إلى التمايز. المعادلات سهلة الفهم بشكل بديهي، حيث يتم سحب معدل الإصابة بشكل مستمر من S وإضافته إلى I، وفي الوقت نفسه، هناك تيار من الأفراد المتعافين الذين يتركون I بمعدل σI ويظهرون في R بدلاً من ذلك.

الشكل 1. الرسوم البيانية لـ R المسترد والانتشار I. (أ) الرسوم البيانية للاسترداد (كجزء صغير من إجمالي السكان) لنماذج SIR المختلفة وقيمة ثابتة لـ R0=1.66. أولاً، نعرض SIR القياسي، ثم S-SIR، وأخيرًا SIR مع مناعة التعقيم الاصطناعية (ASI) بمعلمات من (8). لاحظ أنهما يبدأان بشكل متطابق تقريبًا، لكن الأخيرين ينحنيان للأسفل في وقت أبكر بكثير من الأول، مما يتجاوز عتبة مناعة القطيع الكلاسيكية (HIT)، في حين يظل الاثنان الثانيان معًا بشكل وثيق ويستقران تحت عتبة مناعة القطيع الكلاسيكية. ( ب ) المنحنيات المقابلة للانتشار I (تظهر الرسوم البيانية بشكل مستقل في الشكل 2).

إن SIR، وامتداداته، حتمية بمعنى أنه إذا قمنا بتشغيلها مرتين، فإن الناتج هو نفسه. ويعتقد أن مثل هذه النماذج تعمل بشكل جيد أثناء تفشي المرض، حيث ينطبق قانون الأعداد الكبيرة [5، 11]. جميع النتائج التي توصلنا إليها تتعلق بهذا الوضع. ولأغراض النمذجة، على سبيل المثال، المرحلة الأولية أو النقل المنزلي، تُستخدم أنواع أخرى من النماذج. الشرط الأولي الأكثر طبيعية لمرض جديد هو تعيين I(0)=n حيث n << N represents a small number of import cases arriving at time t = 0, and then set S(0) = N − n and R(0) = 0 (so everybody else is initially susceptible and no-one has yet recovered). The value of n is completely irrelevant to the shape of the curves that follow, a low value of n only gives the equation system a slower start so it takes a while longer for the outbreak to reach a certain value. Once this happens, the curves look the same independent of the value n. See the blue graphs in Fig 1 for some typical examples of R-curves and I-curves. In this model, R is always increasing and levels out on a number which is called "the final size of the pandemic" (see Fig 1a). S approximatively looks like N − R, since the prevalence I at any given time is small in comparison with the total population. The incidence ν typically looks just like I, albeit with a lower magnitude.

2.1 النماذج المعاصرة لفيروس كورونا-19

عادةً ما تحتوي النماذج المعاصرة التي تستخدمها فرق النمذجة الاحترافية على العديد من الأقسام أكثر من SIR، على سبيل المثال فيما يتعلق بالتقسيم الطبقي للعمر، ومستويات النشاط المتغيرة، والمناطق الجغرافية، ومقصورات للأشخاص الذين يحتاجون إلى وحدة العناية المركزة، ومقصورات للأشخاص الذين يموتون. على سبيل المثال، النموذج الذي نشره أعضاء فريق الاستجابة لفيروس إمبريال كوليدج كوفيد{{0}} [20] يحتوي في جذره على SIR أساسي (انظر الصفحة 9 بالإضافة إلى الشكل S2 في المادة التكميلية لـ [ 20])، وينطبق الشيء نفسه على النموذج [21] الذي استخدمه فريق النمذجة السويدي الشهير، والذي تمكن من ملاءمة إشغال وحدة العناية المركزة والوفيات بدقة عالية خلال الموجة الأولى في السويد. يأخذ النموذج الأخير أيضًا في الاعتبار المناطق المختلفة وأنماط التفاعل بينها، ولكن الديناميكيات داخل المنطقة عبارة عن SEIR بسيط. ومن الشائع أيضًا إضافة قسم E لـ "مكشوف"، متضمنًا وقت الحضانة، (كما حدث بالفعل في المثالين أعلاه). ومع ذلك، كما سنبين في القسم 4، فإن هذا له تأثير محدود على السلوك العام. نعني بهذا أنه لكل مجموعة من قيم المعلمات (R0، وقت الحضانة، وما إلى ذلك) لـ SEIR، من الممكن الحصول على منحنى متطابق تقريبًا مع SIR (والعكس صحيح)، إذا سمح لنا بتغيير المعلمة القيم قليلا. نظرًا لأن القيمة الدقيقة لهذه المعلمات غير معروفة أبدًا، فهذا يعني أنه لأغراض عملية يمكن للمرء الاعتماد على SIR تمامًا كما يعتمد على SEIR، على الأقل لفهم الاتجاهات العامة. على سبيل المثال، في الشكل 3 نعرض مثالاً لـ SEIR وSIR بقيم R0- تختلف بنسبة 1%، والرسوم البيانية متطابقة تقريبًا. على سبيل المثال، يختلف الحجم النهائي للوباء بأقل من 1.5%. علاوة على ذلك، فإن الأقسام المتعلقة بالمرض الشديد والوفيات لها أيضًا تأثير هامشي على السلوك العام، وذلك ببساطة لأن جزءًا صغيرًا فقط من المصابين سينتهي بهم الأمر في هذه الأقسام. وبناء على ذلك، فإننا نرى أنه لفهم السلوك العام العام، كما يهمنا هنا، يكفي دراسة نموذج SIR الأبسط. بالنسبة للمحاولات الأخرى للتنبؤ/نموذج SARS-CoV-2 باستخدام نماذج من النوع SIR/SEIR، راجع على سبيل المثال [22، 23].

في المقابل، فإن الأنواع الأخرى من عدم التجانس، مثل مستويات النشاط المتغيرة وأنماط التفاعل المختلفة بين الفئات العمرية، لها تأثير تخميد ملحوظ على منحنيات النموذج. على سبيل المثال، النشاط العمري الطبقي SEIR بواسطة Britton et. آل. [10] تبلغ ذروة حدوثه حوالي 35٪ أقل من SIR القياسي، نظرًا لمعلمات الإدخال المماثلة. يتوافق هذا مع النتائج الواردة في [10]، حيث لوحظ انخفاض في عتبة مناعة القطيع بحوالي 30٪ لنموذج النشاط العمري، مقارنةً بالتنبؤ (1) استنادًا إلى SIR. سيتم مناقشة هذا الأمر بشكل أكبر في القسم 4.2. كما أن القابلية المتغيرة لها تأثير كبير، ولكن تمت مناقشة ذلك بالفعل في المقدمة وسيتم تحليله بشكل أكبر في القسم 3.

2.2 عدم تطابق النموذج مع الواقع؟

من الصعب تحديد ما إذا كانت النماذج الأكثر تقدمًا تصف بدقة انتشار فيروس كورونا-19 أم لا، نظرًا لأنه قد يجادل المرء دائمًا بأن التدخلات غير الصيدلانية (NPIs)، وكذلك التغييرات السلوكية الطوعية، كان لها تأثير كبير. دون الادعاء بأن لديها إجابة محددة، فإن حالة السويد مثيرة للاهتمام بسبب استراتيجيتها المتساهلة، والتي ظلت علاوة على ذلك ثابتة تقريبًا خلال الفترة 2020-2021. على وجه الخصوص، ظلت المدارس مفتوحة، وتم تشجيع الأشخاص الذين لا يستطيعون العمل من المنزل على الذهاب إلى العمل، وأُجبر أفراد أسر الأسر المصابة على العمل أو الذهاب إلى المدرسة، ولم يتم تطبيق استخدام أقنعة الوجه على نطاق واسع مطلقًا، مما جعل البلاد مثالية لمقارنة النماذج مع البيانات الفعلية. نظرًا لعدم كفاية الاختبارات، تكون السلسلة الزمنية للحالات ذات قيمة محدودة، ولكن قياسات الانتشار المصلي من عينات الدم تعطي معلومات قيمة حيث ثبت أن معظم الأشخاص الذين يصابون بـCOVID-19 يطورون أيضًا أجسامًا مضادة [ 24] وأن هذه الأجسام المضادة تبقى لمدة 9 أشهر على الأقل [25، 26]. تشير النتائج التي نشرتها وكالة الصحة العامة السويدية [27] إلى أن ما يقرب من 11% أصيبوا بكوفيد-19 في منطقة ستوكهولم بعد الموجة الأولى لعام 2020، والتي ارتفعت إلى حوالي 22% في فبراير 2021، بعد الموجة الثانية. أيضًا بين العاملين في المستشفيات في السويد (الذين لا يستخدمون قناع الوجه)، بلغ معدل الانتشار حوالي 20% [26] بعد الموجة الأولى، وذلك تماشيًا مع ملاحظات الأسر المصابة في أماكن أخرى [28].

cistanche tubulosa-تحسين الجهاز المناعي

ومع ذلك، فإن النموذج الذي وضعه Sjo¨din وآخرون. آل، المشار إليه سابقًا، يتنبأ بعدد تراكمي للأشخاص المصابين يبلغ حوالي 30% بعد الموجة الأولى، على الرغم من افتراض انخفاض بنسبة 56% في الاتصالات بين الأشخاص الذين تتراوح أعمارهم بين 0-59 عامًا وانخفاض بنسبة 98% بين هؤلاء تتراوح أعمارهم بين 60 و79 عامًا (هذا بالنسبة للسيناريو د الذي يناسب بدقة نسبة إشغال وحدة العناية المركزة والوفاة، انظر الشكل 2 ب، مع الأخذ في الاعتبار أن منطقة ستوكهولم يبلغ عدد سكانها 2.4 مليون نسمة). وعلى نفس المنوال، بريتون وآخرون. آل. [10] قدر أن المرض يمكن أن يستقر عند حوالي 43% من إجمالي المصابين في غضون أشهر. بينما يؤكد المؤلفون على أن هذا ليس تنبؤًا فعليًا، فهو يعتمد على معايير واقعية لفيروس كورونا-19. توقع التقرير التاسع الشهير الصادر عن كلية إمبريال كوليدج [29] أن يصل إجمالي عدد المصابين إلى 81% في سيناريو "عدم القيام بأي شيء"، استنادًا إلى ما يسمى "النموذج القائم على الوكيل" الأكثر تقدمًا والذي يتعامل أيضًا مع جهات الاتصال المنزلية بشكل منفصل. وفقًا للجدول 3 في التقرير، يمكن تقليل عدد الوفيات والقدرة القصوى لوحدات العناية المركزة بنسبة 50% و81% على التوالي، في سيناريو NPI الأكثر فعالية، والذي يتجاوز بالتأكيد ما تم تنفيذه في السويد. ومع ذلك، اعتبارًا من فبراير 2021، عندما كانت سلالة ووهان الأصلية في انخفاض [30]، فإن هذه التوقعات المخفضة تبالغ في تقدير الرقم الفعلي بعامل يقارب 4 (الوفيات) و10 (وحدة العناية المركزة) (عند ترجمتها مباشرة إلى مقاطعة ستوكهولم).

الشكل 2. الرسوم البيانية للمنحنيات الحساسة S. S المقابلة للرسوم البيانية الثلاثة في الشكل 1. كما في الشكل 1، تم تطبيع اللونين الأزرق والأسود والوردي عن طريق القسمة على N. وبالتالي يوضح المنحنى الأسود نسبة إجمالي عدد السكان عرضة للفيروس. لاحظ أنه عندما ينتهي الوباء، لا يزال حوالي 68% عرضة للإصابة، في تناقض صارخ مع SIR الكلاسيكي الذي يصل إلى حوالي 34%. يبدأ المنحنى الوردي بافتراض أن 57% لديهم مناعة تعقيمية صناعية، وبالتالي فإن قيمته الأولية هي 43% (تم اختيار هذا الرقم باستخدام الصيغة (8)). لاحظ أن المنحنى الوردي يشبه تمامًا اللون الأسود باستثناء الترجمة العمودية، مما يوضح النتائج الرئيسية لهذه المقالة. يحتوي نموذج S-SIR على ثلاث مجموعات فرعية S1 وS2 وS3 المقابلة لـ p1=1 (المسمى "susceptibles الفائقة")، p2=0.1 (المسمى "عادي")، وp{{ 17}}.02 (المسمى "محمي بشكل جيد"). لقد قمنا هنا بتطبيع عدد الأشخاص في كل مجموعة فرعية، وبالتالي تبدأ جميع المنحنيات عند 1. لاحظ كيف يستقر الانتشار في المجموعتين الفرعيتين الأخيرتين بمجرد استقراره في المجموعة شديدة الحساسية.

والمقصود هنا ليس انتقاد أي نموذج معين، ومن الواضح أن حالة السويد وحدها لا تستطيع أن تثبت صحة النماذج أو خطأها، كما ذكرنا في البداية. ومع ذلك، استنادًا إلى التناقض الهائل بين البيانات السويدية الفعلية ونتائج النماذج المختلفة الموضحة أعلاه، فإن السؤال المشروع هو ما إذا كانت "النماذج المعاصرة" تميل إلى المبالغة بشكل كبير في تقدير انتشار المجتمع والحجم النهائي للوباء. ونرجح أن الإجابة هي نعم، وقد تقدم المزيد من الدعم لهذه الفرضية في [4]. نوضح في هذا البحث أن القابلية المتغيرة هي أحد العوامل التي تساهم في هذه الظاهرة.

2.3 المناعة المسبقة والناشرات الفائقة وغير ذلك من عدم التجانس

كيف يمكننا تغيير نظامي المعادلة (3) و(4) من أجل تخفيف المنحنيات؟ الخيار الأبسط هو افتراض أن جزءًا معينًا θ من السكان لديه شكل من أشكال المناعة المعقمة حتى لا يصابوا بالفيروس. رياضياً، يتم تحقيق ذلك بسهولة عن طريق تحديث الشروط الأولية إلى

حيث ω {{0}} − θ هو الكسر القابل للتأثر في البداية. ومع ذلك، فإن هذا ليس واقعيًا جدًا لأن المناعة عادة ليست ثنائية، أي إما 0% أو 100% (ما يسمى بالمناعة المعقمة). إن الفرضية القائلة بأن بعض الأشخاص أكثر عرضة للإصابة من غيرهم هي أكثر منطقية بكثير من المناعة الثنائية. في حالة فيروس SARS-CoV-2 على وجه الخصوص، تم اقتراح الفرضية القائلة بأن بعض الأفراد لديهم شكل من أشكال المناعة المسبقة في منشورات مختلفة كتفسير، على الأقل وفقًا للبعض، لموجات العدوى الأولية الخفيفة بشكل غير متوقع، المثال [31]. تسرد هذه الورقة أيضًا عددًا من الدراسات التي توضح أن بعض الأشخاص لديهم مناعة مسبقة للخلايا التائية. منذ ذلك الحين، أظهرت مقالات مختلفة آليات مختلفة تجعل أفرادًا معينين أكثر أو أقل عرضة للإصابة بفيروس SARS-CoV-2، على سبيل المثال [15–18]. ومن الثابت أيضًا أن مستويات العدوى تختلف بشكل كبير، كما ذكرنا سابقًا (انظر على سبيل المثال [32]). بالإضافة إلى ذلك، يبدو أن هذا غير مرتبط بمدى مرضهم؛ العديد من الأفراد الذين لديهم أحمال فيروسية عالية جدًا لا تظهر عليهم أي أعراض. وفي ضوء ذلك، فإن الافتراض الأكثر احتمالا هو أن الطريقة التي يدخل بها الفيروس إلى الإنسان تخضع لتغيرات فردية كبيرة.

لإنشاء نموذج أكثر واقعية لانتشار فيروس كورونا-19، أو أي مرض معدي في هذا الشأن، فمن المعقول تقسيم المقصورتين S وI إلى عدد من المقصورات الفرعية S1، . . .، SJ وI1، . . ., IK حيث يكون لدى الأشخاص في كل حجرة مستوى مختلف من القابلية للإصابة/العدوى. لمعرفة كيفية إعداد نظام معادلة مطابق لانتشار المرض، تذكر أن a هو عدد الاتصالات اليومية لكل فرد. نجعل الآن pjk هو احتمال أن يؤدي هذا الاتصال إلى انتقال العدوى عندما يلتقي فرد في Sj بآخر في Ik. يصبح وقوع νj القادم من المجموعة Sj

(راجع (3)). نظرًا لأننا لا نفترض وجود علاقة بين العدوى والقابلية للعدوى، فإن المبلغ الإجمالي للعدوى الجديدة ν1 + . . . يتم بعد ذلك توزيع + νJ بين المجموعات I1، . . .، IK حسب حجمها النسبي. يمكن تعديل المعادلات المتبقية في (4) بسهولة إلى إعداد المتجه الجديد هذا، ونشير إلى ثانية. 1 في ملف S1 للحصول على التفاصيل. في القسم التالي، نقوم بتحليل سلوك نظام المعادلات هذا، وفي القسم 4 نناقش أيضًا امتدادات أخرى مثل SEIR ومستويات النشاط المتغيرة.

3 النتائج الرئيسية

النقطة الرئيسية في هذا البحث هي أن الامتدادات لكل من SIR وSEIR من النوع المذكور أعلاه تنتج منحنيات إجمالية تختلف بشكل هامشي فقط عن SIR الأساسي، نظرًا لأنه تم تضمين مستوى مناعة التعقيم الاصطناعي (ASI). أولاً، بعد إعداد التفاصيل في القسم 1 من ملف S1، نثبت في الاقتراح 1.1 أن تقسيم I إلى أجزاء فرعية مختلفة ليس له أي تأثير على الإطلاق، مما يدعم الاستنتاجات الواردة في [8، 9، 11]. وبعبارة أخرى، فإن وجود "ناشرين فائقين" لا يؤثر بأي شكل من الأشكال على ديناميكيات انتشار المرض. ولإزالة هذه الطبقة من التعقيد، يتم تبسيط المعادلة (6) إلى

حيث pj هو احتمال انتقال العدوى عندما يواجه أحد الأشخاص المعرضين للإصابة في المجموعة Sj شخصًا معديًا "متوسطًا". نشير إلى المعادلة (14)-(16) في ملف S1 لنظام المعادلات الكامل، والذي نسميه S-SIR لـ "SIR الطبقي للحساسية". إنها حقيقة غريبة جدًا أن تقسيم S إلى أجزاء فرعية لا يمكن، على النقيض من I، اختزاله رياضيًا إلى نظام معادلة أبسط. ومع ذلك، وهذه هي النتيجة الرئيسية لهذه الورقة، يمكننا أن نثبت رياضيًا أن السلوك العام لـ S-SIR (من حيث الانتشار I وR المسترد) يختلف بشكل هامشي فقط عن SIR الأساسي (3) و(4) عند تضمينه ASI إلى الشروط الأولية، كما فعلنا في (5). هذا هو جوهر النظرية 2.1، الموجود في القسم 2 من ملف S1. نظرا للاحتمالات p1، . . ، pJ، توفر النظرية أيضًا صيغًا للقيم المناسبة لمعامل النقل (المستخدم لحساب معدل الإصابة ν في (3)) ومناعة التعقيم الاصطناعية θ (المستخدمة في الظروف الأولية (5))، على النحو التالي:

حيث ω {{0}} − θ وwj هو جزء من السكان الذين ينتمون في البداية إلى Sj؛ وج=سج(0)/N. يوجد رسم توضيحي بسيط لهذه النتائج في القسم 1.3 في ملف S1. من المهم توخي الحذر عند تفسير θ=1 - ω كجزء من الأشخاص الذين لديهم بالفعل مناعة معقمة، لأنه لا يوجد، في الواقع، تقسيم θN مناعي وωN عرضة، ولهذا السبب نحن لقد اخترت الاختصار ASI؛ مناعة التعقيم الاصطناعي. تم توضيح هذه النتائج في الشكلين 1 و2. لاحظ على وجه الخصوص أنه من المثير للدهشة إلى حد ما، أنه بمجرد نفاد أفراد المجموعة الأكثر عرضة للإصابة (المشار إليها بالقابلية الفائقة في الشكل 2) لأفراد جدد للإصابة، يتوقف انتقال العدوى في جميع المجموعات الأخرى كما هو موضح في الشكل 2. حسنًا. يعد هذا السلوك نموذجيًا، راجع الشكل S1 في ملف S1 للحصول على مثال مشابه بقيم مختلفة. لقد لاحظنا نفس الظاهرة أيضًا عند النمذجة باستخدام SEIR وأيضًا عند تضمين الفئات العمرية المختلفة ومستويات النشاط المتغيرة، على سبيل المثال، بعد [10]؛ تنتج النماذج التي تحتوي على العديد من هذه الطبقات مخرجات تبدو غير قابلة للتمييز عمليًا عن مخرجات SIR مع ASI، أي (3)–(5). نتركها كملاحظة رقمية نناقشها بمزيد من التفصيل في القسم 4. على وجه الخصوص، نظرًا للمستوى المقدر لـ ASI θ في المجتمع، فمن المستحيل رياضيًا استخلاص أي استنتاجات حول مقدار θ الناتج عن عدم التجانس في العمر والسلوك. وكم يأتي من الاختلافات في القابلية. وبالمناسبة، في نهاية كل ورقة [1-3]، يؤكد كيرماك وماكيندريك على أن نقطة الضعف في نموذجهما هي أنهم يفترضون قابلية موحدة، وهو ما يعتبرونه غير واقعي في كثير من الحالات. ومع ذلك، يبدو أنهم لم يتوصلوا أبدًا إلى معالجة هذه المشكلة، ولم نجد تحليلًا رياضيًا دقيقًا لكيفية التعامل مع هذا الموقف في أي مكان آخر في الأدبيات أيضًا. على وجه الخصوص، فإن الصيغة 1 - 1/R0 لعتبة مناعة القطيع (HIT)، والتي تنبع من أبحاثهم الأساسية، قد تكون غير دقيقة للغاية، كما هو مقترح في [10]. في القسم التالي، سنشتق نسخة منقحة من هذه الصيغة مع أخذ ASI في الاعتبار.

3.1 صيغ R0 وعتبة مناعة القطيع

من السهل أن نرى أن وقت توليد T Generation (المقدم أدناه (3)) يتزامن مع متوسط ​​الوقت الذي يظل فيه الفرد المصاب ناقلًا للعدوى. نظرًا لمعدل الإصابة، نستنتج أن جيل R0=للمعيار SIR (3) و(4)، بافتراض وجود مجموعة سكانية حساسة تمامًا. ومع ذلك، في ظل وجود ASI θ، يكون معدل الإصابة الفعلي هو (1 - θ) فقط وبالتالي تصبح الصيغة الصحيحة لقيمة R0-

القيمة المذكورة أعلاه لـ R{{0}} هي القيمة التي سيتم تقديرها على سبيل المثال EpiEstim [12] أو [13] من سلسلة في الوقت الفعلي تم إنشاؤها بواسطة النموذج (3) و(4) مع الأولي البيانات (5). رياضياً، يتم تعريف R0 على أنه عدد الإصابات الجديدة التي يسببها فرد مصاب قبل أن تبدأ المناعة الناجمة عن المرض في التراكم. (لحساب ذلك، قم أولاً بحل I 0 (t) {{10}} −σI(t)، بالنظر إلى I(0)=1، مع التذكير بأن σ {{13} }/Tجيل، ثم قم بدمج الحدوث الناتج ν، كما هو معطى بواسطة (3)، مع الحفاظ على S(t) ثابتًا عند S(0)=ωN.) وبالمثل، يرى المرء أن قيمة R الفعالة، يشار إلى إعادة (ر)، في النموذج أعلاه هو

مصطلح "مناعة القطيع" يحمل مجموعة متنوعة من المعاني [33]. في علم الأوبئة الرياضي، في ضوء نموذج معين وفيروس جديد، يتم تعريف عتبة مناعة القطيع على أنها العدد الإجمالي للحالات المعدية والمتعافية اللازمة لتحقيق Re(t0)=1. منذ

(تذكر (4))، نرى أن هذا يتزامن مع النقطة التي تبدأ عندها موجة العدوى في الانحسار بشكل طبيعي. وبعد هذه النقطة، فإن أي حالات استيراد لن تؤدي إلى تفشي المرض مرة أخرى. نشير إلى هذه القيمة بواسطة HIT.

في نموذج SIR، من المفترض أن الأفراد يختلطون بشكل متجانس وأن الأفراد المتعافين لديهم أجسام مضادة وقائية (أي تعقيم المناعة). في حين أنه من المعروف أن الأجسام المضادة تتضاءل بمرور الوقت، على الأقل بالنسبة لـ SARS-CoV-2، فإن هذا التراجع يحدث بشكل أبطأ بكثير من مدة تفشي المرض [25]، وبالتالي فإن الافتراض الأخير معقول لمناقشة عتبة مناعة القطيع في إطار زمني أقصر. ومع ذلك، نود التأكيد على أن التراجع يعني أن مناعة القطيع ليست حالة مستقرة أبدًا، ولكنها ستتلاشى مع مرور الوقت، ومن هنا فإن حقيقة الوصول إلى مناعة القطيع خلال موجة معينة لا تمنع حدوث موجات مستقبلية، والتي قد تحدث إما بسبب تراجع الأجسام المضادة أو ظهور متغيرات جديدة. افترض الآن أن نموذج SIR بمستوى معين من ASI يصف بدقة تفشيًا معينًا. عتبة مناعة القطيع HIT تساوي S(0)/N − S(t0)/N حيث t0 هي النقطة الزمنية عند الوصول إلى عتبة مناعة القطيع، والتي يمكن العثور عليها عن طريق حل Re(t{{10}})=1. بمعنى آخر، HIT هو الفرق بين الكسر S(t0)/N من الأشخاص المعرضين للإصابة في الوقت t0 عند الوصول إلى مناعة القطيع، وجزء الأشخاص المعرضين للإصابة في البداية. في نموذج SIR مع ASI، يؤدي حل Re(t0)=1 إلى الحصول على المعادلة S(t0)/N=1/

Tجيل، وهكذا نستنتج

حيث استخدمنا الصيغة السابقة (9) كتعريف لـ R0. هذه هي صيغة عتبة مناعة القطيع الواردة في المعادلة (2) في المقدمة. إنه يعني أن الصيغة الكلاسيكية (1)، في ضوء تقدير R0 من على سبيل المثال EpiEstim، تبالغ في تقدير عتبة مناعة القطيع. والأهم من ذلك أنه يسمح لنا بالتنبؤ بـ HIT، نظرًا لأنه يمكن تقدير معلمة ASI θ=1 − ω من البيانات المتاحة. تمت الإشارة إلى أن الصيغة الكلاسيكية قد تكون مضللة من قبل [14]، وتشير مساهمة أحدث إلى أن HIT يمكن أن تكون أقل بكثير من القيمة (1) هي [10]. توضح هذه الأعمال ذلك ببساطة عن طريق اختبار النماذج التي تتضمن عدم التجانس (أنماط الاختلاط الاجتماعي في المقام الأول، وليس القابلية المتغيرة)، وبالتالي فهي تقدم القليل من التوجيه للتقدير الفعلي لـ HIT. الصيغة (2)، على حد علمنا، هي المرة الأولى التي يتم فيها إعطاء هذا التأثير صيغة رياضية. خلاصة القول، لقد استنتجنا صيغة جديدة لعتبة مناعة القطيع في نموذج SIR مع ASI. نظرًا لأن النتائج في القسم 3 تشير ضمنًا إلى أن هذا تقدير تقريبي جيد لـ SIR الطبقي للحساسية، فإنه يتبع أن الصيغة المذكورة أعلاه تنطبق على هذا النموذج أيضًا، مع ω المقدمة بواسطة (8). في القسم 4، نوضح عدديًا أن نفس الاستنتاج يبدو صحيحًا أيضًا بالنسبة لحالات عدم التجانس الأخرى، وبالتالي قد تكون الصيغة بديلاً أفضل لتقدير عتبة مناعة القطيع بشكل عام (بافتراض أنه يمكن استنتاج قيمة θ من البيانات المتاحة ). ومن المهم ملاحظة أن (10) ينطبق على افتراض أن المناعة تتحقق بالانتشار الطبيعي. لا تزال عتبة مناعة القطيع للتطعيم محددة بالصيغة الكلاسيكية (1) (بافتراض أن اللقاح يعطي مناعة معقمة)، والتي تظهر في القسم 1.2 من ملف S1. ويشير هذا إلى أنه من الصعب تحقيق مناعة القطيع عن طريق التطعيم، ولكن هناك حاجة إلى مزيد من العمل لتحقيق هذه النتائج في الممارسة العملية.

3.2 التخميد والحجم النهائي للوباء

كما ذكرنا سابقًا، أثبتت العديد من الأعمال أن الحساسية المتغيرة لها تأثير مثبط على معدل الانتشار. ومن خلال النتائج المذكورة أعلاه، يمكن الآن قياس ذلك. لنفترض ð~S؛ ~أنا؛ ~ RÞ هو حل لـ SIR في مجموعة سكانية متجانسة ومعرضة تمامًا (لذا ~ Sð {{0}}Þ ¼ N)، ودع ~ a هو معدل النقل المقابل. بالنظر إلى قيمة ثابتة لـ ASI θ، فمن السهل أن نرى أن ðS؛ أنا؛ RÞ ¼ ðo~S; س ~ أنا؛ o~ RÞ هو حل لـ (3)–(5)، حيث ω=1 − θ و a ¼ ~a=o. وبالتالي فإن تأثير ASI ليس في الواقع سوى إعادة قياس لمنحنيات SIR القياسية. لاحظ أن إعادة القياس لا تغير قيمة R0، والتي يتم الحصول عليها وفقًا للصيغة (9) من خلال الجيل ¼ ~aTجيل في كلتا الحالتين. من المعروف أن الحجم النهائي للوباء ~p ¼ ~ Rð1Þ=N في SIR المعتاد (وكذلك SEIR) يتم الحصول عليه من خلال حل 1

وبالتالي، بالاقتران مع نتيجتنا الرئيسية حول تقليل SIR الطبقي للحساسية إلى SIR مع ASI، نستنتج أن الحل أعلاه π هو تقريب جيد للحجم النهائي للوباء لـ S-SIR مع ω المعطى بواسطة (8) .

4 التوسع في نماذج أكثر عمومية

بالنسبة لمرض مثل فيروس كورونا-19، مع فترة حضانة قصيرة تليها فترة معدية أقصر، لا يوجد سوى فرق هامشي بين النمذجة باستخدام SIR واستخدام SEIR، وبالتالي نعتقد أن الاستنتاجات الرئيسية لهذه الورقة تمتد إلى لهذا النموذج أيضا. وبالمثل، وجدنا عدديًا أن نماذج SEIR الأكثر تقدمًا مع الأخذ في الاعتبار مستويات العمر والنشاط المتغيرة، تتصرف تمامًا مثل SIR إذا قمنا بدمج ASI. نترك التحقق الرسمي من هذه الملاحظات كتخمين مفتوح ونكتفي بعرض بعض الأمثلة.

4.1 سير

يحتوي SEIR على معلمتين رئيسيتين بعيدًا عن R0، وهما Tinfectious وTincubation، حيث الأول هو متوسط ​​الوقت الذي يكون فيه الشخص معديًا والأخير هو الوقت منذ إصابة الشخص بالعدوى حتى يصبح معديًا. تختلف تقديرات هذه الأمور، ونحن هنا نتبع بريتون وآخرون. آل. [10] وضبط Tincubation=4 وTinfectious=3. ويترتب على ذلك أن وقت الجيل يساوي

حيث زمن التوليد هو متوسط ​​الوقت الذي يستغرقه إصابة الشخص بالعدوى حتى يصيب هذا الشخص الآخرين (انظر المعادلة (5) في المادة التكميلية لـ [30] للحصول على اشتقاق رسمي). لاحظ أن هذا يتوافق مع اختيار T Generation في الأقسام السابقة. السبب وراء إعطاء SEIR وSIR مخرجات متطابقة تقريبًا لـCOVID-19 هو أن كلاهما يتم تحديدهما بشكل أساسي من خلال قيم Generation وR0. على سبيل المثال، أثناء تفشي المرض على نطاق واسع، لا يهم إذا كان الشخص مريضًا لمدة 7 أيام وأصاب R0 شخصًا خلال تلك الأيام السبعة، أو إذا خضع للحضانة لمدة 4 أيام ثم أصاب R{{11} } الأشخاص خلال الأيام الثلاثة المتبقية. على سبيل المثال، النظر في الشكل 3(أ)؛ نرى سلوكًا مشابهًا جدًا عن طريق اختيار معلمات SIR وSEIR وفقًا للصيغ المذكورة أعلاه (مع إصلاح R0). علاوة على ذلك، من خلال السماح بمعلمات حرة، يمكن جعل SIR يتصرف بشكل مطابق تقريبًا لـ SEIR (حتى بدون إشراك ASI). لدعم هذا الادعاء، لم يتم الحصول على التداخل المثالي تقريبًا بين المنحنيين الأزرق والأسود في الشكل 3، وذلك عن طريق الحفاظ على التجديد ثابتًا وتعديل R0 بنسبة واحد بالمائة. نظرًا لأن القيمة الدقيقة لمعلمات الإدخال غير معروفة في الواقع، فإننا نرى أنه ليس من المهم ما إذا كان الشخص يستخدم SIR أو SEIR، على الأقل لنمذجة SARS-CoV-2 والفيروسات ذات الخصائص المماثلة. ولذلك، فإن ملاحظات هذه الورقة يجب أن تمتد إلى SEIR أيضًا، حتى لو لم نتمكن من إثبات ذلك رياضيًا.

4.2 نماذج غير متجانسة

القابلية المتغيرة ليست هي النوع الوحيد من عدم تجانس السكان الذي يمكن أن يظهر نفسه على أنه ASI على المستوى الكلي. في [10] قام المؤلفون بتطوير نموذج SEIR غير المتجانس مع الأخذ في الاعتبار أنماط التفاعل المتغيرة بين الفئات العمرية المختلفة، بالإضافة إلى حقيقة أن الأشخاص في كل فئة عمرية لديهم كميات متفاوتة من الاتصالات. لقد قمنا بتنفيذ نموذجهم ثم بحثنا عن معلمات لـ SIR مع ASI والتي من شأنها أن تسفر عن مخرجات مماثلة. وتظهر النتيجة في الشكل 3 (ب). ومرة أخرى، الفرق دقيق جدًا لدرجة أنه سيكون من المستحيل اكتشافه عمليًا. ومن الآن فصاعدًا، فإن ما قد يبدو كمستوى معين من المناعة السكانية (السابقة) في النماذج الرياضية قد يكون في الواقع مزيجًا من عدم التجانس السكاني المتنوع، حيث تكون القابلية المتغيرة عنصرًا واحدًا فقط.

الشكل 3. التقريبات باستخدام SIR مع ASI. ( أ ) SEIR مع R 0=1.66 وTinfectious + Tinfective=7 (أزرق)، SIR بنفس R 0 وT Generation=7 (أحمر)، وأخيرًا SIR مع R0 أقل بنسبة 1%، نفس الجيل T (أسود). ( ب ) النشاط العمري الطبقي SEIR مع R {{1 0}}.66 و Tinfectious + Tinfective=7 (أزرق) ؛ SIR يستخدم نفس T Generation ولكن ASI بنسبة 25% وR0 مختلف قليلاً (أسود).

5. مناقشة

يمكن أن يكون هناك العديد من الأسباب التي تجعل بعض الأشخاص أكثر عرضة من غيرهم للإصابة بفيروس جديد، بدءًا من المناعة الفطرية والتكيفية إلى المناعة المتبادلة من الفيروسات المعروفة الأخرى بالإضافة إلى الاختلافات الجينية. بالنسبة لمرض جديد، فإن تعقيم ما قبل المناعة، أي الأفراد الذين لديهم مناعة كاملة دون أن يصابوا بالفيروس على الإطلاق، على الأرجح غير موجود. النقطة الأساسية في هذه الدراسة هي أن تعقيم المناعة الفردية ليس ضروريًا لمراقبة ما يشبه تعقيم المناعة على مستوى السكان، وهو ما أطلقنا عليه ASI؛ مناعة التعقيم الاصطناعي. لقد أظهرنا رياضيًا أنه من أجل الحصول على ASI، نحتاج فقط إلى اختلاف معتدل في القابلية للتأثر. علاوة على ذلك، نوضح عدديًا أن الأنواع الأخرى من عدم التجانس السكاني، مثل أنماط الاختلاط الاجتماعي المتغيرة، تظهر أيضًا على أنها ASI.

نبات السيستانش - يعمل على زيادة جهاز المناعة

النتائج الواردة في هذه الورقة لا تقتصر على SARS-CoV-2 ولكنها تظهر بشكل أساسي أن الصيغ الكلاسيكية لعتبة مناعة القطيع ونماذج انتشار الأمراض المعدية ذات الجذور في الورقة الشهيرة التي كتبها كيرماك وماكيندريك [1 ] غير قادرين على نمذجة أي مرض معدي يخضع لتباين كبير في القابلية للتأثر، ويحتاج إلى تعديل كما هو موضح في القسم 3.1. يعد تقدير عتبة مناعة القطيع (HIT) أمرًا بالغ الأهمية لإدارة وتخطيط مكافحة الأمراض بكفاءة. على سبيل المثال، إذا قرر المجتمع إجراء إغلاق قبل الوصول إلى HIT، فمن المؤكد تقريبًا أن المرض سوف يعود إلى الظهور ما لم يتم الحفاظ على NPIs إلى أجل غير مسمى. لا تزال الصيغة الكلاسيكية (1) مستخدمة إلى حد كبير، على الرغم من أنه من المعروف أنها تعتمد على عدد من الافتراضات المبالغة في التبسيط والتي قد تؤدي إلى إشارة خاطئة. لقد أنشأنا صيغة جديدة نثبت أنها تنطبق عند وجود حساسية متغيرة. وبما أننا أظهرنا أن نموذجنا المبسط، SIR مع ASI، يبدو أيضًا بديلاً جيدًا للنماذج التي تتضمن أنماط خلط اجتماعي متغيرة، فمن الممكن أن (2) ينطبق بشكل عام أكثر مما يمكننا إثباته رياضيًا.

مراجع

1. كيرماك وو، ماكيندريك إيه جي. مساهمة في النظرية الرياضية للأوبئة. وقائع الجمعية الملكية في لندن السلسلة أ، تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي. 1927؛ 115(772):700-721.

2. كيرماك وو، ماكيندريك إيه جي. مساهمات في النظرية الرياضية للأوبئة II. مشكلة الاستيطان. وقائع الجمعية الملكية في لندن السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي. 1932؛ 138(834):55–83.

3. كيرماك وو، ماكيندريك إيه جي. مساهمات في النظرية الرياضية للأوبئة III. مزيد من الدراسات حول مشكلة الاستيطان. وقائع الجمعية الملكية في لندن السلسلة أ، التي تحتوي على أوراق ذات طابع رياضي وفيزيائي. 1933؛ 141(843):94-122.

4. Carlsson M, So¨derberg-Naucle´r C.COVID-19 نمذجة النتائج مقابل الواقع في فيروسات السويد 2022، 14(8)، MDPI https://doi.org/10.3390/v14081840 PMID: 36016462

5. Diekmann O، Heesterbeek H، Britton T. الأدوات الرياضية لفهم ديناميكيات الأمراض المعدية. في: الأدوات الرياضية لفهم ديناميكيات الأمراض المعدية. مطبعة جامعة برينستون. 2012.

6. Gerasimov A، Lebedev G، Lebedev M، Semenycheva I. ديناميكيات كوفيد-19: نموذج غير متجانس. الحدود في الصحة العامة. 2021؛ 8:911. https://doi.org/10.3389/fpubh.2020.558368 PMID: 33585377

7. هيكسون آر، روبرتس إم. كيف يؤثر عدم التجانس السكاني في القابلية للإصابة والعدوى على ديناميكيات الوباء. مجلة علم الأحياء النظري. 2014; 350: 70-80. https://doi.org/10.1016/j.jtbi.2014.01.014 PMID: 24444766

8. ميلر جي سي. حجم الوباء واحتماله في المجموعات السكانية ذات العدوى والقابلية غير المتجانسة. المراجعة البدنية إي. 2007؛ 76(1):010101. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.76.010101 PMID: 17677396

9. ميلر جي سي. ملاحظة حول اشتقاق الأحجام النهائية للوباء. نشرة الأحياء الرياضية. 2012; 74 (9):2125-2141. https://doi.org/10.1007/s11538-012-9749-6 PMID: 22829179

10. Britton T, Ball F, Trapman P. نموذج رياضي يكشف عن تأثير عدم تجانس السكان على مناعة القطيع ضد السارس-CoV-2. علوم. 2020; 369(6505):846-849. https://doi.org/10.1126/ science.abc6810 PMID: 32576668

11. روس ف، وآخرون. دور الناشرين الفائقين في نمذجة فيروس SARS-CoV-2. نمذجة الأمراض المعدية (2022). https://doi.org/10.1016/j.idm.2022.10.003 PMID: 36267691

12. طومسون آر، ستوكوين جي، فان جالين آر دي، بولونسكي جي، كامفار زي، ديمارش بي، وآخرون. تحسين الاستدلال على أرقام التكاثر المتغيرة بمرور الوقت أثناء تفشي الأمراض المعدية. الأوبئة. 2019; 29:100356. https://doi.org/10.1016/j.epidem.2019.100356 PMID: 31624039

13. Cori A، Ferguson NM، Fraser C، Cauchemez S. إطار عمل جديد وبرمجيات لتقدير أرقام التكاثر المتغيرة بمرور الوقت أثناء الأوبئة. المجلة الأمريكية لعلم الأوبئة. 2013; 178(9):1505-1512. https://doi.org/10.1093/aje/kwt133 بميد: 24043437

14. Fox JP، Elveback L، Scott W، Gatewood L، Ackerman E. مناعة القطيع: المفهوم الأساسي وصلته بممارسات التحصين في مجال الصحة العامة. المجلة الأمريكية لعلم الأوبئة. 1971؛ 94(3):179-189. https://doi.org/10.1093/oxfordjournals.aje.a121310 PMID: 5093648

15. دي كيه، جولدفارب دي إم، هاني جيه، أمات جا، هيردر في، ستيوارت إم، وآخرون. تعمل عدوى فيروس الأنف البشري على منع تكاثر SARS-CoV-2 داخل ظهارة الجهاز التنفسي: الآثار المترتبة على وبائيات كوفيد-19. مجلة الأمراض المعدية. 2021. https://doi.org/10.1093/infdis/jiab147 PMID: 33754149

16. إن جي كيلوواط، فولكنر إن، كورنيش جي إتش، روزا أ، هارفي آر، حسين إس، وآخرون. المناعة الخلطية الموجودة مسبقًا والمستجدة لـ SARS-CoV-2 في البشر. علوم. 2020; 370(6522):1339-1343. https://doi.org/10.1126/ science.abe1107 PMID: 33159009

17. Zeberg H, Pa¨a¨bo S. منطقة جينومية مرتبطة بالحماية من فيروس كورونا الشديد-19 موروثة من إنسان النياندرتال. وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم. 2021؛ 118(9). https://doi.org/10. 1073/مقالي.2026309118 بميد: 33593941

18. كوندو، ريا، وآخرون. ترتبط خلايا الذاكرة التائية المتفاعلة بالحماية من عدوى SARS-CoV-2 في جهات اتصال COVID-19. اتصالات الطبيعة 13.1 (2022): 1-8. https://doi.org/10.1038/s41467- 021-27674-x PMID: 35013199

19. Brauer F، Castillo-Chavez C، Feng Z. النماذج الرياضية في علم الأوبئة. سبرينغر. 2019.

20. ووكر بي جي، ويتاكر سي، واتسون أو جيه، باجولين إم، وينسكيل بي، هاملت أ، وآخرون. تأثير فيروس كورونا-19 واستراتيجيات التخفيف والقمع في البلدان المنخفضة والمتوسطة الدخل. علوم. 2020. https://doi.org/10.1126/science.abc0035 بميد: 32532802

21. سجودين إتش، يوهانسون إيه إف، برانستروم إيه، فاروق زي، كريت إتش كيه، وايلدر سميث إيه، وآخرون. الطلب على الرعاية الصحية بسبب فيروس كورونا ({2}}) ومعدل الوفيات في السويد استجابة لسيناريوهات التخفيف والقمع غير الصيدلانية. المجلة الدولية لعلم الأوبئة. 2020. https://doi.org/10.1093/ije/dyaa121 بميد: 32954400

22. حسن محمد نظمول، وآخرون. النمذجة الرياضية وتوقعات فيروس كورونا-19 في تكساس، الولايات المتحدة الأمريكية: تحليل نموذج التنبؤ واحتمال تفشي المرض. طب الكوارث والتأهب للصحة العامة (2021): 1-12. https://doi.org/10.1017/dmp.2021.151 بميد: 34006346

23. محمود محمد شهريار، وآخرون. فعالية اللقاح والسيطرة على مرض السارس-كوف-2 في كاليفورنيا وفينا خلال الجلسة 2020-2026: دراسة نموذجية. نمذجة الأمراض المعدية 7.1 (2022): 62-81. https://doi.org/10. 1016/j.idm.2021.11.002 بميد: 34869959

24. جودبيارتسون دي إف، نوردال جي إل، ميلستيد بي، جونارسدوتير كيه، هولم إتش، إيثورسون إي، وآخرون. الاستجابة المناعية الخلطية لـ SARS-CoV-2 في أيسلندا. نيو انغلاند جورنال اوف ميديسين. 2020; 383(18):1724– 1734. https://doi.org/10.1056/NEJMoa2026116 PMID: 32871063

25. دان جي إم، ماتيوس جي، كاتو واي، هاستي كم، يو إي دي، فاليتي سي، وآخرون. تم تقييم الذاكرة المناعية لـ SARS-CoV-2 لمدة تصل إلى 8 أشهر بعد الإصابة. علوم. 2021. https://doi.org/10.1126/science.abf4063 PMID: 33408181

26. تولد مناعة بعد 9 أشهر. بيان صحفي لمستشفى داندريدز. عنوان الويب: www.ds.se/jobbahos-oss/mot-oss/bred-immunitet-efter-nio-manader/

27. فولخهالسمينديغيتن. الوقاية من الإصابة بفيروس كورونا المستجد (COVID)-19 ومضادات الأكسدة من خلال الحماية من الفيروسات.

28. ماديويل زد جيه، يانغ واي، لونجيني آي إم، هالوران إم إي، دين إن إي. الانتقال المنزلي لـ SARS-CoV-2: مراجعة منهجية وتحليل تلوي. شبكة JAMA مفتوحة. 2020; 3(12):e2031756-e2031756. https://doi.org/10.1001/jamanetworkopen.2020.31756 PMID: 33315116

29. فيرغسون إن، ليدون دي، نجاتي جيلاني جي، إيماي إن، أينسلي كيه، باجولين إم، وآخرون. التقرير 9: تأثير التدخلات غير الصيدلانية (NPIs) لتقليل معدل الوفيات بسبب فيروس كورونا -19 والطلب على الرعاية الصحية. جامعة لندن الامبرياليه. 2020; 10(77482):491-497.

30. Carlsson M, Hatem G, So¨derberg-Naucle´r C. تشير النمذجة الرياضية إلى مناعة موجودة مسبقًا ضد السارس-CoV-2. medRxiv. 2021.

31. دوشي بي كوفيد-19: هل يتمتع العديد من الأشخاص بمناعة موجودة مسبقًا؟ بمج. 2020; 370. بميد: 32943427

32. جونز تي سي، بيلي جي، موليمان بي، فيث تي، شنايدر جيه، بيهايم شوارزباخ جيه، وآخرون. تقدير العدوى خلال مسار الإصابة بفيروس SARS-CoV-2. علوم. 2021. https://doi.org/10.1126/science. أبي5273 بميد: 34035154

33. فاين بي، إيمز كيه، هيمان دي إل. "مناعة القطيع": دليل تقريبي. الأمراض المعدية السريرية. 2011; 52 (7):911-916. https://doi.org/10.1093/cid/cir007 بميد: 21427399