حفظ طريقة شرودر كاستراتيجية فعالة لتقدير جذور الكثرة المجهولة

خلاصة:

في هذا البحث، نقترح، على حد علمنا، أول مخطط تكراري مع الذاكرة للعثور على الجذور التي لا يعرف تعددها الموجودة في الأدبيات. إنه يحسن كفاءة إجراء مماثل بدون ذاكرة بسبب شرودر ويمكن اعتباره بمثابة بذرة لإنشاء طرق عالية الترتيب ذات خصائص مماثلة. وبمجرد دراسة ترتيب تقاربها، يتم تحليل ثباتها وبيان خواصها الجيدة، ومقارنتها عددياً من حيث أحواض الجذب الخاصة بها بمخططات مماثلة دون ذاكرة لإيجاد جذور متعددة.

الذاكرة جزء مهم من الذكاء البشري وضرورة لتعلم الإنسان وتفكيره وخلقه وحياته. لكن الكثير من الناس يجدون أن ذاكرتهم غير كافية وغالباً ما ينسون أشياء مهمة. ترتبط جودة الذاكرة ارتباطًا وثيقًا بتكرار الذاكرة.

يشير ما يسمى بتكرار الذاكرة إلى التعزيز المستمر للذاكرة وتوطيدها في عملية التعلم المتكرر لنقطة معرفة أو مهارة معينة، ثم تحويلها أخيرًا إلى ذاكرة طويلة المدى. لا تساعد هذه العملية على ترسيخ الذكريات فحسب، بل تعمل أيضًا على تحسين كميتها ونوعيتها.

إذًا، كيف يمكن تكرار الذاكرة بشكل جيد؟ بادئ ذي بدء، من الضروري أن نفهم محتوى التعلم بشكل كامل. فقط من خلال الفهم العميق يمكن أن تنطبع المعرفة حقًا في العقل وتتجنب النسيان. ثانيا، استمر في المراجعة. تساعد المراجعة المتكررة للمعرفة المكتسبة الدماغ على تعميق انطباع التعرف على المعرفة والاستدلال والفهم، وبالتالي تعزيز الذاكرة طويلة المدى. وأخيرًا، استخدم مجموعة متنوعة من الأساليب للمساعدة في التكرار على الذاكرة. على سبيل المثال، يمكنك جعل ذاكرتك أكثر عمقًا عن طريق عمل خرائط ذهنية، وإعادة السرد، وما إلى ذلك.

باختصار، الذاكرة التكرارية هي عملية معقدة ومهمة تتطلب جهدًا ومثابرة متواصلتين. فقط من خلال التعامل مع الذاكرة التكرارية كأسلوب حياة ودمجها في جميع جوانب الدراسة اليومية والعمل والحياة، يمكننا تحسين ذاكرتنا بشكل مستمر، وتمكين أنفسنا من التعامل بشكل أفضل مع تحديات التعلم والعمل المعقدة، وإظهار أسلوب شخصي جديد. معجون اللحم هو مادة طبية صينية تقليدية لها العديد من التأثيرات الفريدة، أحدها تحسين الذاكرة. تأتي فعالية اللحم المفروم من مجموعة متنوعة من المكونات النشطة التي يحتوي عليها، بما في ذلك حمض الكربوكسيل والسكريات والفلافونويد وما إلى ذلك. ويمكن لهذه المكونات تعزيز صحة الدماغ من خلال قنوات مختلفة.

انقر فوق تعرف على 10 طرق لتحسين الذاكرة

الكلمات الدالة:

المعادلات غير الخطية. الأساليب التكرارية مع الذاكرة؛ جذور متعددة خالية من المشتقات. كفاءة؛ استقرار.

1 المقدمة

توجد في الأدبيات (انظر، على سبيل المثال، المرجع [1–8]) العديد من الطرق التكرارية بدون ذاكرة، والتي تتضمن مشتقات أم لا، والمصممة لتقدير الجذور المتعددة للمعادلة غير الخطية f(x)=0، ولكن وأغلبها يحتاج إلى معرفة تعدد هذه الجذور.

ومن المعروف أن طريقة شرودر [9]:

نظرًا لكونها معلمة حقيقية، فإنها تتطلب 4 تقييمات للدالة في كل خطوة ولم تعد خالية من المشتقات. تعتبر طريقة Traub-Steffensen على g باهظة الثمن ولم يتم أخذها في الاعتبار.

الميزة الرئيسية لمخطط شرودر هو استقلاليته في معرفة تعدد الدالة غير الخطية، على عكس طريقة نيوتن المعدلة للجذور المتعددة،

حيث m هو التعدد الذي يجب معرفته في هذه الحالة. وكان هذا المخطط أيضًا بسبب شرودر (انظر أيضًا المرجع [9])، ونشير إليه بالرمز SM2. هذا المخطط متقارب من الدرجة الثانية، وبالتالي فهو الأمثل، بمعنى تخمين كونغ تروب، (حيث يستخدم تقييمين وظيفيين جديدين لكل تكرار؛ انظر المرجع [10]). إلا أنها تحتاج إلى معرفة التعدد، بينما SM1 لا يستخدمها؛ ومع ذلك، فإن العيب الرئيسي لنظام SM1 هو كفاءته المنخفضة، حيث يحتاج إلى تقييم ثلاث وظائف غير خطية (f(x)، f 0 (x) وf 00(x)) لكل تكرار.

هدفنا في هذه المخطوطة مزدوج: من ناحية، نود زيادة كفاءة مخطط SM1، مع الاحتفاظ بقدرته على إيجاد جذور متعددة للتعدد m دون معرفة m، ومن الجانب الآخر، الجمع في نفس الخوارزمية القدرة على إيجاد جذور متعددة باستخدام أكثر من تكرار سابق. لذلك، نقترح مخططًا تكراريًا مزودًا بالذاكرة لتقدير الجذور المتعددة للتعدد غير المعروف. وبقدر ما نعلم، لا يوجد في الأدبيات أي إجراء تكراري يلبي هذه الخصائص.

في تحليل تقارب المخطط المقترح يجب أخذ بعض الجوانب بعين الاعتبار، حيث أنها طريقة تكرارية بالذاكرة لذلك يجب مراعاة الخطأ في عدة تكرارات سابقة ويجب أن يكون تعدد الجذر m عنصراً أساسياً أيضاً من المظاهرة، على الرغم من أن قيمتها المحددة غير معروفة. بخصوص هذه الحقيقة يجب ملاحظة أن f (q) ( ) {{0}} لـ q=1, 2, . . . , m − 1 و f (m) ( ) 6= 0. لذا، فإن توسعات تايلور حول f وf 0 التي تظهر في التعبير التكراري يجب أن تأخذ هذه المعلومات في الاعتبار.

من ناحية أخرى، نظرًا لأن مخططنا المقترح عبارة عن إجراء تكراري يستخدم ثلاث تكرارات سابقة لحساب التكرار التالي، فمن الضروري التعبير عن معادلة الخطأ من حيث الأخطاء المقابلة لها، ومن خلالها نستنتج ترتيب تقاربها. ويتم ذلك باستخدام النتيجة الكلاسيكية لأورتيجا وراينبولت [11]، والتي يتم عرضها أدناه.

النظرية 1. دع ψ تكون طريقة تكرارية مع الذاكرة التي تولد تسلسلًا {xk} من التقريبات للجذر، ودع هذا التسلسل يتقارب مع . إذا كان هناك ثابت غير صفري η وأرقام موجبة ti, i=0, 1, . . . ، م، بحيث أن عدم المساواة

في هذه المخطوطة، القسم 2 مخصص لتصميم وتحليل التقارب للطريقة التكرارية الخالية من المشتقات المقترحة مع الذاكرة للعثور على جذور متعددة (دون معرفة تعددها). في القسم 3، يتم تحليل استقرارها لاستنتاج اعتمادها على التقديرات الأولية لكل من الجذور البسيطة والمتعددة. في القسم 4، يتم فحص الأداء العددي للطريقة على العديد من وظائف الاختبار، التي يتم تحليلها، بالإضافة إلى أحواض الجذب المقابلة لها، مقارنة بطرق شرودر الحالية.

2. تحليل التصميم والتقارب

نقطة البداية لدينا هي المخطط الخالي من المشتقات مع الذاكرة بسبب تروب [12]،

الميزة الرئيسية لهذا المخطط هي قدرته على إيجاد جذور بسيطة ومتعددة للدالة غير الخطية دون معرفة التعدد، بكفاءة أفضل من SM1. بالتأكيد، باستخدام مؤشر كفاءة أوستروفسكي [13]، فإن ISM1=2 1 3 ≈ 1.25992 أقل من IgTM=1.841 2 ≈ 1.35647، حيث يتم حساب كل مؤشر على أنه p 1 d، مع p كونه ترتيب تقارب الطريقة، و d مقدار التقييمات الوظيفية الجديدة لكل تكرار.

في القسم التالي، سيتم إجراء تحليل ديناميكي على هذا المخطط، لإظهار أدائه النوعي على جذور بسيطة ومتعددة. نظرًا لأنها طريقة تكرارية مع الذاكرة، يجب استخدام ديناميكيات حقيقية متعددة الأبعاد.

3. دراسة نوعية للطرق التكرارية المقترحة مع الذاكرة للجذور المتعددة

دعونا نلاحظ أن طريقتنا تستخدم ثلاث تكرارات سابقة لإنشاء التكرار التالي؛ ولذلك يمكن التعبير عنها بشكل عام أ

حيث x0 وx−1 وx−2 هي التقديرات الأولية. باستخدام الإجراء المحدد في المرجع [14]، يمكن وصف هذه الطريقة بأنها نظام ديناميكي حقيقي متعدد الأبعاد منفصل، ويمكن تحليل سلوكه النوعي

إن الأداء النوعي للنظام الديناميكي له عنصر أساسي في توصيف نقاطه الثابتة من حيث الثبات. لحساب النقاط الثابتة لـ 1 SF Υ، يمكن تعريف دالة متجهية مساعدة M: R3 −→ R3، تتعلق بـ 1 SF Υ باستخدام:

علاوة على ذلك، إذا كانت هناك قيمة ذاتية φi للمصفوفة اليعقوبية M{{0}} يتم تقييمها عند نقطة ثابتة x ∗ مُرضية |αi|< 1 وواحد آخر α بحيث يكون |α|> 1، إذن، x ∗ تسمى نقطة السرج الثابتة. وكامتداد للمفهوم في الديناميكيات أحادية البعد، إذا كانت القيم الذاتية لـ M0 (x ∗ ) تحقق |αj |=0 لجميع قيم j=1، 2، . . . ، m، إذن، النقطة الثابتة x ∗ لا تجتذب فحسب، بل تنجذب أيضًا بشكل فائق. ولذلك فإن الطريقة لها تقارب تربيعي، على الأقل على فئة الدوال غير الخطية التي تشتق الدالة الكسرية (انظر المرجع [12]).

من خلال اعتبار x ∗ نقطة جذب ثابتة لـ M، يتم تعريف حوض الجذب الخاص بها A(x ∗ ) على أنه مجموعة الصور الأولية لأي ترتيب

تمت دراسة الأداء النوعي للمخططات التكرارية المختلفة المصممة لحل المعادلات غير الخطية ذات الجذور المتعددة من قبل مؤلفين مختلفين (انظر، على سبيل المثال، المرجع [17-19]). لقد تم صنعه باستخدام ديناميكيات معقدة منفصلة، ​​حيث أن كل هذه المخططات بدون ذاكرة. في هذه الدراسات، تم التوصل إلى أنه عندما تعمل طريقة تكرارية (بدون ذاكرة) مصممة لإيجاد جذور متعددة على دالة غير خطية ذات جذور بسيطة ومتعددة، فمن المعتاد أن تكون أحواض جذب الجذور البسيطة أضيق من تلك ذات الجذور المتعددة. وبالفعل، فإن تلك الجذور البسيطة قد تحدد نقاطًا ثابتة للدالة العقلانية تكون مثيرة للاشمئزاز. لذلك، يجب أن تكون الطريقة التكرارية قادرة على العثور على جذور متعددة فقط.

يتم إجراء التحليل النوعي التالي على p(x)=(x + 1)(x − 1) m، m أكبر من أو يساوي 1 بحيث تكون قدرة المخطط على العثور على كل من البسيط و يتم اختبار جذور متعددة (مع التعدد م).

من الأدوات المفيدة جدًا لتصور النتائج التحليلية هو المستوى الديناميكي للنظام، والذي يتكون من مجموعة من أحواض الجذب المختلفة. هنا، تم بناء المستوى الديناميكي للطريقة المقترحة gTM عن طريق حساب مدار شبكة مكونة من 800 × 800 نقطة بداية (z، x) للحصول على قيمة ثابتة قدرها w في شبكة البداية. نظرًا لأن المخططات التكرارية يجب أن تبدأ بثلاثة تقديرات أولية، فإننا نولد شبكة من المستويات الديناميكية، كل منها له قيمة ثابتة قدرها w في الفاصل الزمني [−1.75، 1.75]. في هذه الصور المرحلية، يتم رسم كل نقطة من الشبكة بألوان مختلفة (البرتقالي والأخضر في هذه الحالة)، اعتمادًا على الجاذب الذي تتقارب فيه (المميزة كنجمة بيضاء)، مع تفاوت قدره 10−3. بالإضافة إلى ذلك، فإنها تظهر باللون الأسود إذا لم يصل المدار إلى أي نقطة ثابتة جذابة بحد أقصى 500 تكرار. نظرًا لتغير القيمة الثابتة لـ w في متجه القيم التي تنتمي إلى [−1.75، 1.75]، فإنها تنتج تركيبة من الأشكال لكل تعدد، مما يؤدي إلى ظهور نوع من المخططات الكنتورية.

في الشكل 1، نعرض أداء مخطط gTM على p(x)، أي المشغل العقلاني TM للجذور البسيطة. من خلال ملاحظة سلوك المخططات المختلفة مع اختلاف التكرارات الثلاثة الأولى في [−2، 2]، يتم ملاحظة الجدوى المستقرة. أحواض جذب الجذور هي الوحيدة؛ فهي واسعة، والأداء المختلف الوحيد (الأفضل من غيرها من حيث بساطة الحدود بين الأحواض) هو الحالة ث=0، حيث يتم تبسيط الوظيفة العقلانية. في جميع الحالات، لوحظ أن السلوك الوحيد الممكن لطريقة gTM هو التقارب مع الجذور.

من ناحية أخرى، في الشكل 2، نعرض أداءً مشابهًا جدًا عندما يكون أحد الجذور مزدوجًا، والآخر بسيط. إن أحواض الجذب متساوية في الاتساع، وهذا السلوك يكون مشابهًا جدًا عندما يتم استكشاف تعدديات أخرى. بالإضافة إلى ذلك، في هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك تقاربًا فقط للجذور، حيث أن المناطق الداكنة لديها تقارب أبطأ فقط، وذلك بسبب التعقيد العالي لحدود أحواض الجذب.

4. الأداء العددي والاختبارات الديناميكية

في هذا القسم، نقوم بمقارنة ثلاث طرق، وهي SM2 (التي تتطلب معرفة التعدد)، وSM1، وGTM (المشتقة من طريقة تروب). لا تتطلب الطريقتان الأخيرتان معرفة التعددية، لكنهما تتطلبان تقييمات وظيفية إضافية لكل خطوة تكرار (ثلاثة في حالة SM1، واثنتان في حالة gTM).

تتم مقارنة الطرق من الناحية النوعية عبر أحواض أرقام الجذب وكميًا من خلال عدة مقاييس. هذه المقاييس هي وقت تشغيل وحدة المعالجة المركزية (CPU) لتشغيل الطريقة على نقاط في مربع 6 × 6 متمركز في الأصل. قمنا بتقسيم المربع على خطوط أفقية وعمودية موزعة بشكل موحد، واتخذنا جميع نقاط التقاطع كنقاط أولية للعملية التكرارية.

بالنسبة إلى TM، وهي طريقة تحتوي على ذاكرة، كان علينا أن نأخذ نقطتي بداية إضافيتين x−1=x0 + d وx−2=x0 + 2d، حيث d هي تباعد السطور. المعيار الآخر الذي تم جمعه بواسطة الكود هو متوسط ​​عدد التكرارات لكل نقطة (AIPP)، ولكن نظرًا لأن الطرق تتطلب عددًا مختلفًا من التقييمات الوظيفية لكل خطوة، فقد أخذنا متوسط ​​عدد الوظائف لكل نقطة (AFPP). المعيار الثالث هو عدد النقاط المتباعدة (DP)، وهو عدد النقاط التي لم تتقارب فيها الطريقة في 40 تكرارًا باستخدام تسامح قدره 10−7.

بناءً على الشكل 3، من الواضح أن SM1 وSM2 لهما أحواض متشابهة، وأن gTM بها فصوص أكثر على الحدود بين الحوضين. من الشكل 4، نلاحظ أن gTM أفضل من SM1. في الأشكال الثلاثة التالية، يعتبر gTM هو الأفضل، مع أحواض جذب أوسع ومناطق سوداء أضيق لا تتقارب مع الجذور. يتم الاحتفاظ بهذا الأداء حتى بالنسبة للدالة غير متعددة الحدود f5. علاوة على ذلك، في الشكل 8، يمكن ملاحظة أن أحواض الجذب بطريقة SM2 أوسع من طريقة gTM الخاصة بنا.

نشير الآن إلى البيانات الواردة في الجداول 1-3. يتم توضيح وقت تشغيل وحدة المعالجة المركزية بالثواني في الجدول 2. SM2 أسرع باستمرار من الأجهزة الأخرى. إذا كان التعدد غير معروف فإن gTM أسرع من SM1، باستثناء المثال الأول. في المتوسط، gTM أسرع من SM1.

متوسط ​​عدد تقييمات الوظائف لكل نقطة (انظر الجدول 2) هو الأعلى بالنسبة لـ SM1 لجميع الأمثلة. لاحظ أن المثال الأخير هو الأصعب لجميع الطرق. عدد النقاط المتباينة هو الأدنى بالنسبة لـ gTM للأمثلة 1 و3 و4. يحتوي SM1 على أكثر النقاط المتباينة للأمثلة الستة الأولى، ولكن في المثال الأخير، كان أداء gTM ضعيفًا وأصبح في المركز الثالث بشكل عام. كانت طريقة SM2 هي الأفضل، في المتوسط، للفئات الثلاث تليها gTM لفئتين.

5. الاستنتاجات

تم بناء مخطط تكراري جديد مع الذاكرة مع القدرة على العثور على جذور بسيطة ومتعددة (دون الحاجة إلى معرفة تعددها). وهي، على حد علمنا، الطريقة الأولى بهذه الخصائص في الأدبيات. لقد ثبت أن ترتيب التقارب الخاص به يبلغ حوالي 1.84 مع تقييمين وظيفيين جديدين لكل تكرار؛ وهذا ينتج مخططًا لتحسين كفاءة مخطط شرودر بدون ذاكرة SM1، التي لها خصائص مماثلة. باستخدام الديناميكيات المنفصلة الحقيقية متعددة الأبعاد ومتعددات الحدود ذات الدرجة المنخفضة ذات الجذور البسيطة والمتعددة، تم تحليل استقرار المخطط المقترح، مما يوضح مناطق واسعة من التقارب لكلا النوعين من الجذور.

في القسم الأخير، سمحت لنا طرق شرودر وgTM التي تعمل على عدة أمثلة باستنتاج أنه إذا كان التعدد معروفًا مسبقًا، فلن يتمكن SM1 وgTM من التنافس، على الرغم من أن gTM أفضل من SM1. ومع ذلك، عندما لا يكون التعدد معروفا، فإن الطريقة المقترحة gTM تظهر أداء جيد جدا وكفاءة أفضل من طرق SM1، من حيث زمن التنفيذ والتكلفة الحسابية واتساع أحواض الجذب.

الكاتب الاشتراكات:

التصور، AC وJRT؛ المنهجية، BN؛ البرمجيات، AC وBN؛ التحقق من الصحة، BN؛ التحليل الرسمي، JRT؛ التحقيق، AC؛ الكتابة - إعداد المسودة الأصلية، AC وBN؛ الكتابة – المراجعة والتحرير، JRT؛ الإشراف، BN وJRT لقد قرأ جميع المؤلفين النسخة المنشورة من المخطوطة ووافقوا عليها.

التمويل:

تم دعم هذا البحث جزئيًا بواسطة PGC2018-095896-B-C22 (MCIU/AEI/FEDER, UE).

بيان الموافقة المستنيرة:

غير قابل للتطبيق.

شكر وتقدير:

يود المؤلفون أن يشكروا المراجعين المجهولين على اقتراحاتهم وتعليقاتهم التي أدت إلى تحسين النسخة النهائية من هذه المخطوطة.

تضارب المصالح:

الكتاب تعلن أي تضارب في المصالح.

مراجع

1. بيتكوفيتش، م.؛ نيتا، ب. بيتكوفيتش، إل؛ Džuni´c, J. طرق متعددة النقاط لحل المعادلات غير الخطية; الصحافة الأكاديمية: أكسفورد، المملكة المتحدة، 2013.

2. أمات، س. Busquier، S. التقدم في الطرق التكرارية للمعادلات غير الخطية. سلسلة سيما سيماي سبرينغر 10؛ سبرينغر: شام، سويسرا، 2016.

3. بيهل، ر. كورديرو، أ.؛ Torregrosa، JR مخطط جديد مثالي خالي من المشتقات لجذور متعددة. جي كومبيوتر. تطبيق. الرياضيات. 2021، 113773، تحت الطبع. [المرجع المتقاطع]

4. كومار، س.؛ كومار، د.؛ شارما، جي آر؛ سيزارانو، C .؛ أغاروال، P.؛ Chu، YM خوارزمية رقمية مثالية خالية من المشتقات من الدرجة الرابعة لجذور متعددة. التناظر 2020، 12، 1038. [CrossRef]

5. أكرم، س.؛ أكرم، ف.؛ جونجوا، م. أرشد، م.؛ Afzal، T. عائلة من الوظيفة التكرارية المثالية من الدرجة الثامنة لجذور متعددة وديناميكياتها. جي الرياضيات. 2021، 77، 1249-1272.

6. شارما، جي آر؛ Arora، H. عائلة من الطرق التكرارية من الدرجة الخامسة لإيجاد جذور متعددة للمعادلات غير الخطية. رقم. شرجي. تطبيق. 2021، 14، 186-199. [المرجع المتقاطع]

7. كومار، س.؛ كومار، د.؛ شارما، جي آر؛ Argyros، IK فئة فعالة من الطريقة الخالية من المشتقات من الدرجة الرابعة لجذور متعددة. كثافة العمليات. J. العلوم غير الخطية. رقم. محاكاة. 2021. [المرجع المتقاطع]

8. ظفر، ف.؛ كورديرو، أ.؛ Torregrosa، JR عائلة من الطريقة المثالية من الدرجة الرابعة لجذور متعددة للمعادلات غير الخطية. الرياضيات. طرق التطبيق. الخيال العلمي. 2020, 43, 7869-7884. [المرجع المتقاطع]

9. شرودر، إي. أوبر unendlich viele Algorithmen zur Auflösung der Gleichungen. الرياضيات. آن. 1870، 2، 317-365. [المرجع المتقاطع]

10. كونغ، HT؛ Traub، JF الترتيب الأمثل للتكرار بنقطة واحدة ومتعددة النقاط. جيه مساعد. حساب. ماخ. 1974، 21، 643-651. [المرجع المتقاطع]

11. أورتيجا، جي إم. راينبولت، الحل التكراري للمعادلات غير الخطية في عدة متغيرات؛ الصحافة الأكاديمية: كامبريدج، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية، 1970.

12. تروب، JF الطرق التكرارية لحل المعادلات. برنتيس هول: هوبوكين، نيوجيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية، 1964.

13. أوستروفسكي، AM حلول المعادلات وأنظمة المعادلات؛ الصحافة الأكاديمية: نيويورك، نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية؛ لندن، المملكة المتحدة، 1966.

14. كامبوس، ب.؛ كورديرو، أ.؛ توريجروسا، الابن . Vindel، P. نهج ديناميكي متعدد الأبعاد للطرق التكرارية مع الذاكرة. تطبيق. الرياضيات. حساب. 2015، 271، 701-715. [المرجع المتقاطع]

15. ديفاني، ر.ل. مقدمة للأنظمة الديناميكية الفوضوية؛ التقدم في الرياضيات والهندسة. مطبعة اتفاقية حقوق الطفل: بوكا راتون، فلوريدا، الولايات المتحدة الأمريكية، 2003.

For more information:1950477648nn@gmail.com